继母有权利继承，如果有遗嘱则按照遗嘱进行继承。遗产是公民死亡时遗留的个人合法财产。因此，丈夫的婚前财产，虽然不属于夫妻共同财产，但是属于丈夫一人的个人的合法财产，妻子当然具有继承权。
有继承权， 遗产按照下列顺序继承：
第一顺序：配偶、子女、父母。
第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。 继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承。没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。 本法所说的子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。 从你所说，你母亲改嫁，你继哥哥和姐姐还没有成年，双方形成抚养关系，而且你母亲生病期间，他们还拿钱治病，他们可以作为继承人继承你母亲的财产，同理，将来你继父去世，你也可以继承。
对于继承银行存款需要提供公证书的做法，目前并没有统一的法规依据，但是目前大部分银行都这么做，依据的是各银行的内部规定。由于银行是金融机构，考虑到业务性质及庞大的业务量，银行不可能对取款人提供的各种证明文件的真实性进行实质性审查，这就有可能出现因为文件虚假造成存款被冒领的情况。为了尽量避免这种情况的发生，银行就要求取款人提供公信力相对较高的生效法律文书，比如公证书、法院的判决书等，作为银行付款的依据。具体到继承银行存款的问题上，即使有当事人之间的协议，银行仍然只相信国家公证机关出具的遗产分配公证书。
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