不可以，发生事故后由于经济赔偿等问题起诉到法院的，首先要起诉肇事司机，因为肇事司机才是第一责任人。车辆投保了保险，还要同时起诉保险公司，如果肇事司机不是车主的，还要把车主也列为被告一并起诉。当肇事司机无力赔偿时，由车主承担连带赔偿责任。
根据《中华人民共和国道路交通安全法》、《中华人民共和国刑法》和《交通事故处理程序规定》的相关规定：
1、行政处罚方面：发生交通事故后逃逸的，如果尚未构成犯罪，公安机关交通管理部门可以对其处以200元以上2000元以下罚款的行政处罚。并由公安机关交通管理部门吊销机动车驾驶证，且终生不得重新取得机动车驾驶证。机动车驾驶证核发地车辆管理所将对其终生不得重新获取机动车驾驶证的决定记入全国公安交通管理信息系统备案。
2、刑事责任方面：肇事逃逸是交通肇事罪从重处罚的情节。交通肇事后逃逸，并已构成交通肇事罪的，将受到3年以上7年以下有期徒刑的刑事处罚。如果因逃逸之人死亡的，将受7年以上有期徒刑的处罚。
最高人民法院印发《关于处理自首和立功若干具体问题的意见》的通知中规定，“交通肇事逃逸后自动投案，如实供述自己罪行的，应认定为自首，但应依法以较重法定刑为基准，视情决定对其是否从宽处罚以及从宽处罚的幅度”。
1、当事人立即将事故车辆移至不影响交通的地方。
2、当事人各自出示并互验驾驶证、行驶证和保险凭证，如发现证件破损无法辨认或有假证嫌疑，立即报案。
3、确认证件无疑的，双方应立即向110、122备案并向各自的保险公司报案。在保险公司受案后填写《事故确认单》，当事各方将事故车辆就近到投保的保险公司定损、理赔。
4、当事各方车辆到达同一家保险公司后，保险公司及时派员评估定损受损车辆。
5、当事人对保险公司定损无异议的，在物损评估意见书上签名，保险公司理赔。
6、当事人持本《确认单》及保险合同规定提供的单证，向保险公司提出索赔申请。
以上是找法网小编对“交通事故可以不告驾驶员告保险公司吗？”这个问题的简单解答。被侵权人应当按照顺序进行起诉，交通事故中的第一被告人应是肇事司机，车辆的保险公司为第二顺位的被告。希望以上内容能对您有所帮助，若您还有什么法律疑问，建议咨询找法网的专业律师。
