没签劳动合同被开除，劳动者可以就未签订劳动合同超过一个月不满一年的时间部分请求支付双倍工资
劳动者不是过失性辞退的，劳动者可以还可以主张经济补偿
《劳动合同法》第十条规定，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同
已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同
用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立
第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资
用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资
《劳动合同法》第十条建立劳动关系，应当订立书面劳动合同
已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同
用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的，劳动关系自用工之日起建立
第八十二条用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资
用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资
